Calcul infinitésimal Exemples

$8 (4^{5 - x}) = 40$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (8 \cdot 4^{5 - x}) = \ln (40)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (8 \cdot 4^{5 - x})$ comme $\ln (8) + \ln (4^{5 - x})$ .

$\ln (8) + \ln (4^{5 - x}) = \ln (40)$

Étape 2.2

Développez $\ln (4^{5 - x})$ en déplaçant $5 - x$ hors du logarithme.

$\ln (8) + (5 - x) \ln (4) = \ln (40)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (8) + 5 \ln (4) - x \ln (4) = \ln (40)$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Déplacez $5 \ln (4)$ .

$\ln (8) - x \ln (4) + 5 \ln (4) = \ln (40)$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $\ln (8)$ et $- x \ln (4)$ .

$- x \ln (4) + \ln (8) + 5 \ln (4) = \ln (40)$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- x \ln (4) + \ln (8) + 5 \ln (4) - \ln (40) = 0$

Étape 6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8}{40}) = 0$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $8$ et $40$ .

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Étape 7.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 (1)}{40}) = 0$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $8$ à partir de $40$ .

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 5}) = 0$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 5}) = 0$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Étape 8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1

Soustrayez $5 \ln (4)$ des deux côtés de l’équation.

$- x \ln (4) + \ln (\frac{1}{5}) = - 5 \ln (4)$

Étape 8.2

Soustrayez $\ln (\frac{1}{5})$ des deux côtés de l’équation.

$- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$ par $- \ln (4)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$ par $- \ln (4)$ .

$\frac{- x \ln (4)}{- \ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Étape 9.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 9.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Étape 9.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 5}{- 1} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Étape 9.3.1.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 5}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot - 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Étape 9.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 5$ comme $- - 5$ .

$x = - - 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Étape 9.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$x = 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Étape 9.3.1.4

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = 5 + \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (4)}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 5 + \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (4)}$

Forme décimale :

$x = 3.83903595 \dots$