Calcul infinitésimal Exemples

$x = (1 + t) \sqrt{t}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$x = (1 + t) t^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} ((1 + t) t^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $x$ par rapport à $t$ est $x'$ .

$x'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = 1 + t$ et $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

$(1 + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(1 + t) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 4.7.3

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.9

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 4.12

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.13

Simplifiez

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Étape 4.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.13.2

Associez des termes.

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Étape 4.13.2.1

Multipliez $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.13.2.2

Associez $t$ et $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.13.2.3

Placez $t^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.13.2.4

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.13.2.4.1

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.13.2.4.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.13.2.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.13.2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.13.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.13.2.4.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.13.2.5

Pour écrire $t^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.13.2.6

Associez $t^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Étape 4.13.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Étape 4.13.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.13.2.9

Additionnez $t^{\frac{1}{2}}$ et $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x' = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$