Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (y - 1) - \ln (2) = x + \ln (x)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y - 1}{2}) = x + \ln (x)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (\frac{y - 1}{2}) - \ln (x) = x$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{y - 1}{2}}{x}) = x$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{y - 1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = x$

Étape 5

Multipliez $\frac{y - 1}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{y - 1}{2 x}) = x$

Étape 6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{y - 1}{2 x})} = e^{x}$

Étape 7

Réécrivez $\ln (\frac{y - 1}{2 x}) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x} = \frac{y - 1}{2 x}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y - 1}{2 x} = e^{x}$ .

$\frac{y - 1}{2 x} = e^{x}$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $2 x$ .

$\frac{y - 1}{2 x} (2 x) = e^{x} (2 x)$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Simplifiez $\frac{y - 1}{2 x} (2 x)$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{y - 1}{2 x} x = e^{x} (2 x)$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$2 \frac{y - 1}{2 (x)} x = e^{x} (2 x)$

Étape 8.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y - 1}{2 x} x = e^{x} (2 x)$

Étape 8.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 1}{x} x = e^{x} (2 x)$

Étape 8.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 1}{x} x = e^{x} (2 x)$

Étape 8.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = e^{x} (2 x)$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $e^{x} (2 x)$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y - 1 = 2 e^{x} x$

Étape 8.3.2.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x} x$ .

$y - 1 = 2 x e^{x}$

Étape 8.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 x e^{x} + 1$