Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{x - 3} + \frac{x - 21}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x}{x - 3} + \frac{x - 21}{x^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x}{x - 3} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x}{x - 3}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 3) + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.4

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.5

Factorisez $x^{2} + 4 x - 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 21$ et dont la somme est $4$ .

$- 3, 7$

Étape 5.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x + 7)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (x + 7)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 7}{x + 3}$