Calcul infinitésimal Exemples

$\tan^{2} (\frac{π}{6}) \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{3^{2}} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{3^{2}} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{9} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{9} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \sec (\frac{π}{6}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{6})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.7

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.8.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.9

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 1.9.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3 \cdot 3} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.9.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \sec^{3} (\frac{π}{6})$

Étape 1.10

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{6})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 1.11

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 1.12

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.12.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{3}$

Étape 1.12.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{3}$

Étape 1.12.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{3}$

Étape 1.12.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{3}$

Étape 1.12.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{3}$

Étape 1.12.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.12.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{3}$

Étape 1.12.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{3}$

Étape 1.12.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{3}$

Étape 1.12.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.12.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{3}$

Étape 1.12.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{3}$

Étape 1.12.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}$

Étape 1.13

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.13.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}$

Étape 1.13.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}$

Étape 1.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.14.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}$

Étape 1.14.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}$

Étape 1.14.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}}$

Étape 1.14.4

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.14.4.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}$

Étape 1.14.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}$

Étape 1.14.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \cdot 3 \sqrt{3}}{3^{3}}$

Étape 1.14.6

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}}$

Étape 1.15

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{24 \sqrt{3}}{27}$

Étape 1.16

Annulez le facteur commun à $24$ et $27$ .

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Étape 1.16.1

Factorisez $3$ à partir de $24 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27}$

Étape 1.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)}$

Étape 1.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}$

Étape 1.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{9}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}}{9}$

Étape 2.2

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $8 \sqrt{3}$ .

$\frac{10 \sqrt{3}}{9}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{10 \sqrt{3}}{9}$

Forme décimale :

$1.92450089 \dots$