Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{3}{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $8 x^{3}$ comme ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 2 x$ et $b = 3$ .

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.1.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.1.4.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.1.4.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $2$ plus $- 3$

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun de $2 x - 3$ .

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Étape 2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) \cdot 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Étape 2.6.2

Simplifiez

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Étape 2.6.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Étape 2.6.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Étape 2.6.2.3

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

Étape 2.6.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Étape 2.6.5

Soustrayez $3 x$ de $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Étape 2.6.6

Soustrayez $3$ de $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 8$ , $b = 9$ et $c = 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot 15$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $15$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $480$ de $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 399$ comme $- 1 (399)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (399)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

Étape 8

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 (x + 1) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (x + 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x + 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 10.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 10.2.1.2.1.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$x + 1 = \frac{0}{2}$

Étape 10.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x + 1 = 0$

Étape 10.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 1$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1)$

Étape 13