Calcul infinitésimal Exemples

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

Étape 1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Étape 2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Factorisez $u^{2} - 3 u + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 3.3

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 3.4

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 2) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 2, 1$

Étape 4

Remplacez $u$ par $2$ dans $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Étape 5

Résolvez $2 = e^{x}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Étape 5.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Étape 5.3

Développez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Étape 5.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Étape 5.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (2)$

Étape 6

Remplacez $u$ par $1$ dans $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Étape 7

Résolvez $1 = e^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Étape 7.3

Développez le côté gauche.

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Étape 7.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Étape 7.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Étape 7.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (1)$

Étape 7.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (2), 0$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $1.61230978$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \ln (2)$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \ln (2)$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.35$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0.35$ dans l’inégalité d’origine.

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 0.24344993$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \ln (2)$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \ln (2)$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $345.17218272$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \ln (2)$ Vrai

$x > \ln (2)$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \ln (2)$ Vrai

$x > \ln (2)$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < \ln (2)$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < \ln (2)$

Notation d’intervalle :

$(0, \ln (2))$

Étape 13