Calcul infinitésimal Exemples

$e^{2 x} - 2 e^{x} + 1 = 0$

Étape 1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(e^{x})}^{2} - 2 e^{x} + 1 = 0$

Étape 2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Étape 3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Définissez le $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 3.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 4

Remplacez $u$ par $1$ dans $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Étape 5

Résolvez $1 = e^{x}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Étape 5.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Étape 5.3

Développez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Étape 5.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Étape 5.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (1)$

Étape 5.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x = 0$