Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} < 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Étape 2.2

Associez $- 1$ et $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} + \frac{- (2 - x)}{2 - x} < 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{| 2 x - 1 | - (2 - x)}{2 - x} < 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{| 2 x - 1 | - 1 \cdot 2 - - x}{2 - x} < 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 - - x}{2 - x} < 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + 1 x}{2 - x} < 0$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + x}{2 - x} < 0$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + | 2 x - 1 | - 2 = 0$

$2 - x = 0$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $| 2 x - 1 |$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$| 2 x - 1 | - 2 = - x$

Étape 4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$| 2 x - 1 | = - x + 2$

Étape 5

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 x - 1 = \pm (- x + 2)$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$2 x - 1 = - x + 2$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x - 1 + x = 2$

Étape 6.2.2

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$3 x - 1 = 2$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2 + 1$

Étape 6.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 x = 3$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $3 x = 3$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 3$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{3}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Divisez $3$ par $3$ .

$x = 1$

Étape 6.5

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Étape 6.6

Simplifiez $- (- x + 2)$ .

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Étape 6.6.1

Réécrivez.

$2 x - 1 = 0 + 0 - (- x + 2)$

Étape 6.6.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Étape 6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 1 = - - x - 1 \cdot 2$

Étape 6.6.4

Multipliez $- - x$ .

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Étape 6.6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 x - 1 = 1 x - 1 \cdot 2$

Étape 6.6.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x - 1 = x - 1 \cdot 2$

Étape 6.6.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 x - 1 = x - 2$

Étape 6.7

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.7.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - 1 - x = - 2$

Étape 6.7.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$x - 1 = - 2$

Étape 6.8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.8.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - 2 + 1$

Étape 6.8.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$x = - 1$

Étape 6.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 7

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 8.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 9

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1, - 1$

$x = 2$

Étape 10

Consolidez les solutions.

$x = 1, - 1, 2$

Étape 11

Déterminez le domaine de $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ .

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Étape 11.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 - x = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 11.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 11.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 11.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 13.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{| 2 (- 4) - 1 |}{2 - (- 4)} < 1$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $1.5$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 13.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{| 2 (0) - 1 |}{2 - (0)} < 1$

Étape 13.2.3

Le côté gauche $0.5$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.5$

Étape 13.3.2

Remplacez $x$ par $1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{| 2 (1.5) - 1 |}{2 - (1.5)} < 1$

Étape 13.3.3

Le côté gauche $4$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 13.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 13.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{| 2 (4) - 1 |}{2 - (4)} < 1$

Étape 13.4.3

Le côté gauche $- 3.5$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < 1$ ou $x > 2$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 1 < x < 1 or x > 2$

Notation d’intervalle :

$(- 1, 1) \cup (2, \infty)$

Étape 16