Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

Étape 1

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x = y + 1$

Étape 2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y = 1$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y - 1 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = y^{3}$ , $b = - 2 y - 6$ et $c = - y - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- (- 2 y - 6) \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- (- 2 y) + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Étape 5.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Étape 5.4

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5

Laissez $u = y^{3} \cdot (- y - 1)$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{3} \cdot (- y - 1)$ par $u$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez ${(- 2 y - 6)}^{2}$ comme $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{(- 2 y - 6) (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5.2

Développez $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 6) - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5.3.1.4

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5.3.1.6

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.5.3.2

Additionnez $12 y$ et $12 y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.6

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.6.2

Factorisez $4$ à partir de $24 y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.6.3

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) - 4 u}}{2 y^{3}}$

Étape 5.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Étape 5.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{2}) + 4 (6 y)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Étape 5.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Étape 5.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - u)}}{2 y^{3}}$

Étape 5.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{3} \cdot (- y - 1)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} \cdot (- y - 1)))}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} (- y) + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $y^{3}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.8.4.1

Multipliez $y^{3}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.8.4.1.1

Déplacez $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.4.1.2

Multipliez $y$ par $y^{3}$ .

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Étape 5.8.4.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{1 + 3} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.4.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.4.2

Réécrivez $- 1 y^{3}$ comme $- y^{3}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.5

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.6

Multipliez $- - y^{4}$ .

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Étape 5.8.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + 1 y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.6.2

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.7

Multipliez $- - y^{3}$ .

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Étape 5.8.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + 1 y^{3})}}{2 y^{3}}$

Étape 5.8.7.2

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Étape 5.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Étape 5.10

Réécrivez $4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ comme $2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ .

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Étape 5.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Étape 5.10.2

Réécrivez $y^{4}$ comme ${(y^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Étape 5.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{{(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Étape 5.12

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{2 \cdot 2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Étape 5.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{y + 3 + \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$

$x = \frac{y + 3 - \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$