Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - 4 x < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 4 x = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 4 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 2.3

Factorisez.

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Étape 2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{3} - 4 \cdot - 4 < 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 48$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1 < 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $3$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

${(1)}^{3} - 4 \cdot 1 < 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 3$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{3} - 4 \cdot 4 < 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $48$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $0 < x < 2$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 2 or 0 < x < 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$

Étape 12