Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 9 x - 18 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2) = 0$

Étape 2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 2.4

Factorisez.

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Étape 2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x + 2) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 2, - 3, 3$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{3} + 2 {(- 6)}^{2} - 9 \cdot - 6 - 18 > 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 108$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2.5$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 2.5$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2.5)}^{3} + 2 {(- 2.5)}^{2} - 9 \cdot - 2.5 - 18 > 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $1.375$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 - 18 > 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 18$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{3} + 2 {(6)}^{2} - 9 \cdot 6 - 18 > 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $216$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 < x < - 2$ ou $x > 3$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 3 < x < - 2 or x > 3$

Notation d’intervalle :

$(- 3, - 2) \cup (3, \infty)$

Étape 12