Calcul infinitésimal Exemples

$1 - \ln (1 - x) > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$1 - \ln (1 - x) = 0$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (1 - x) = - 1$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- \ln (1 - x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (1 - x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (1 - x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (1 - x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $\ln (1 - x)$ par $1$ .

$\ln (1 - x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (1 - x) = 1$

Étape 2.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (1 - x)} = e^{1}$

Étape 2.4

Réécrivez $\ln (1 - x) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{1} = 1 - x$

Étape 2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $1 - x = e^{1}$ .

$1 - x = e$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = e - 1$

Étape 2.5.3

Divisez chaque terme dans $- x = e - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = e - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{e}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot e + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot e$ comme $- e$ .

$x = - e + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.3.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = - e + 1$

Étape 3

Déterminez le domaine de $1 - \ln (1 - x)$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (1 - x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$1 - x > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x > - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x > - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x > - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x < 1$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - e + 1$

$- e + 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - e + 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - e + 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$1 - \ln (1 - (- 4)) > 0$

Étape 5.1.3

Le côté gauche $- 0.60943791$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- e + 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- e + 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$1 - \ln (1 - (0)) > 0$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$1 - \ln (1 - (4)) > 0$

Étape 5.3.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.3.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.3.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - e + 1$ Faux

$- e + 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - e + 1$ Faux

$- e + 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- e + 1 < x < 1$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- e + 1 < x < 1$

Notation d’intervalle :

$(- e + 1, 1)$

Étape 8