Calcul infinitésimal Exemples

$- 2 x^{2} + 4000 x > 700000$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 2 x^{2} + 4000 x = 700000$

Étape 2

Soustrayez $700000$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} + 4000 x - 700000 = 0$

Étape 3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2} + 4000 x - 700000$ .

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Étape 3.1

Factorisez $- 2$ à partir de $4000 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 700000 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 700000$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 2000 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 (350000)$ .

$- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x^{2} - 2000 x + 350000$ par $1$ .

$x^{2} - 2000 x + 350000 = \frac{0}{- 2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$x^{2} - 2000 x + 350000 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2000$ et $c = 350000$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2000 \pm \sqrt{{(- 2000)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 350000)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 2000$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 350000$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $350000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 1400000}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $1400000$ de $4000000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{2600000}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $2600000$ comme $200^{2} \cdot 65$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $40000$ à partir de $2600000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{40000 (65)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $40000$ comme $200^{2}$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$ .

$x = 1000 \pm 100 \sqrt{65}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1000 + 100 \sqrt{65}, 1000 - 100 \sqrt{65}$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(0)}^{2} + 4000 (0) > 700000$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0$ n’est pas supérieur au côté droit $700000$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 196$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $196$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(196)}^{2} + 4000 (196) > 700000$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $707168$ est supérieur au côté droit $700000$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1809$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $1809$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(1809)}^{2} + 4000 (1809) > 700000$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $691038$ n’est pas supérieur au côté droit $700000$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ Faux

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ Vrai

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ Faux

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ Faux

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ Vrai

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

Notation d’intervalle :

$(1000 - 100 \sqrt{65}, 1000 + 100 \sqrt{65})$

Étape 13