Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} + 1 < 9 x - 3$

Étape 1

Soustrayez $9 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x^{2} + 1 - 9 x < - 3$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 1 - 9 x = - 3$

Étape 3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 1 - 9 x + 3 = 0$

Étape 4

Additionnez $1$ et $3$ .

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x$ .

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

Étape 5.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 1$ plus $- 8$

$2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4 = 0$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1) = 0$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x - 4) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 7

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 8

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, 4$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} + 1 < 9 (0) - 3$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $1$ n’est pas inférieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(2)}^{2} + 1 < 9 (2) - 3$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $9$ est inférieur au côté droit $15$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(6)}^{2} + 1 < 9 (6) - 3$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $73$ n’est pas inférieur au côté droit $51$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{2} < x < 4$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{1}{2} < x < 4$

Notation d’intervalle :

$(\frac{1}{2}, 4)$

Étape 14