Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$

Étape 2

Réalisez le produit en croix.

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Étape 2.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}}) = 1$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}})$ .

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y \sqrt{2 x - x^{2}} = 1$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x - x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 - x^{2}} = 1$

Étape 2.2.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 + x (- x)} = 1$

Étape 2.2.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$2 y \sqrt{x (2 - x)} = 1$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 y \sqrt{x (2 - x)})}^{2} = 1^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x (2 - x)}$ comme ${(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(2 y {(x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 4.2.1.1.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

${(2 y {(2 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(2 y {(2 \cdot x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

${(2 y {(2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

${(2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y)}^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$2^{2} y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{1} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.6

Simplifiez

$4 y^{2} (2 x - x^{2}) = 1^{2}$

Étape 4.2.1.7

Simplifiez en multipliant.

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Étape 4.2.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} (2 x) + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Étape 4.2.1.7.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 4.2.1.7.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Étape 4.2.1.7.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.8.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Étape 4.2.1.8.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} - 1 = 0$

Étape 5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3

Remplacez les valeurs $a = - 4 y^{2}$ , $b = 8 y^{2}$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 4 y^{2} \cdot - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1.1

Réécrivez $- 4 \cdot - 4 y^{2}$ comme ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - {(4 y)}^{2}}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 8 y^{2}$ et $b = 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(8 y^{2} + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.3

Simplifiez

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Étape 5.4.1.3.1

Factorisez $4 y$ à partir de $8 y^{2} + 4 y$ .

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Étape 5.4.1.3.1.1

Factorisez $4 y$ à partir de $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.3.1.2

Factorisez $4 y$ à partir de $4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y (1)) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.3.1.3

Factorisez $4 y$ à partir de $4 y (2 y) + 4 y (1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.4

Factorisez $4 y$ à partir de $8 y^{2} - 4 y$ .

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Étape 5.4.1.4.1

Factorisez $4 y$ à partir de $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.4.2

Factorisez $4 y$ à partir de $- 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) + 4 y (- 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.4.3

Factorisez $4 y$ à partir de $4 y (2 y) + 4 y (- 1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) \cdot (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.5

Associez les exposants.

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Étape 5.4.1.5.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y (2 y + 1) y (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.5.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{1 + 1} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.6

Réécrivez $16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)$ comme ${(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))$ .

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Étape 5.4.1.6.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4^{2} y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.6.2

Réécrivez $4^{2} y^{2}$ comme ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.6.3

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Étape 5.4.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez $\frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

Étape 5.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$