Calcul infinitésimal Exemples

$6 k^{3} - 5 k^{2} < 4 k$

Étape 1

Soustrayez $4 k$ des deux côtés de l’inégalité.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k < 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $k$ à partir de $6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $k$ à partir de $6 k^{3}$ .

$k (6 k^{2}) - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $k$ à partir de $- 5 k^{2}$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) - 4 k = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $k$ à partir de $- 4 k$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $k$ à partir de $k (6 k^{2}) + k (- 5 k)$ .

$k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $k$ à partir de $k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Étape 3.2

Factorisez.

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Étape 3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 k$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $3$ plus $- 8$

$k (6 k^{2} + (3 - 8) k - 4) = 0$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$k (6 k^{2} + 3 k - 8 k - 4) = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$k ((6 k^{2} + 3 k) - 8 k - 4) = 0$

Étape 3.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$k (3 k (2 k + 1) - 4 (2 k + 1)) = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 k + 1$ .

$k ((2 k + 1) (3 k - 4)) = 0$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$k = 0$

$2 k + 1 = 0$

$3 k - 4 = 0$

Étape 5

Définissez $k$ égal à $0$ .

$k = 0$

Étape 6

Définissez $2 k + 1$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 k + 1$ égal à $0$ .

$2 k + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 k + 1 = 0$ pour $k$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 k = - 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 k = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 k = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $k$ par $1$ .

$k = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$k = - \frac{1}{2}$

Étape 7

Définissez $3 k - 4$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 7.1

Définissez $3 k - 4$ égal à $0$ .

$3 k - 4 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $3 k - 4 = 0$ pour $k$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 k = 4$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $3 k = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 k = 4$ par $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $k$ par $1$ .

$k = \frac{4}{3}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$ vraie.

$k = 0, - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$k < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < k < 0$

$0 < k < \frac{4}{3}$

$k > \frac{4}{3}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $k < - \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $k < - \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$k = - 3$

Étape 10.1.2

Remplacez $k$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} < 4 (- 3)$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 207$ est inférieur au côté droit $- 12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < k < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < k < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$k = - 0.25$

Étape 10.2.2

Remplacez $k$ par $- 0.25$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} < 4 (- 0.25)$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 0.40625$ n’est pas inférieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < k < \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < k < \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$k = 1$

Étape 10.3.2

Remplacez $k$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(1)}^{3} - 5 {(1)}^{2} < 4 (1)$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $1$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $k > \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $k > \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$k = 4$

Étape 10.4.2

Remplacez $k$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} < 4 (4)$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $304$ n’est pas inférieur au côté droit $16$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$k < - \frac{1}{2}$ Vrai

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Faux

$0 < k < \frac{4}{3}$ Vrai

$k > \frac{4}{3}$ Faux

$k < - \frac{1}{2}$ Vrai

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Faux

$0 < k < \frac{4}{3}$ Vrai

$k > \frac{4}{3}$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$k < - \frac{1}{2}$ ou $0 < k < \frac{4}{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$k < - \frac{1}{2} or 0 < k < \frac{4}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3})$

Étape 13