Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (arcsec (\frac{x}{3}))$

Étape 1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $arcsec (\frac{x}{3})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ . Ainsi, $\tan (arcsec (\frac{x}{3}))$ est $\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}$

Étape 1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{3}$ et $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{x}{3} + 1) (\frac{x}{3} - 1)}$

Étape 3

Associez en une fraction.

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Étape 3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 1)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1)}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 3}{3}}$

Étape 8

Multipliez $\frac{x + 3}{3}$ par $\frac{x - 3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{3 \cdot 3}}$

Étape 9

Multipliez $3$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}}$

Étape 10

Réécrivez $\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))$ .

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Étape 10.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 3) (x - 3)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{9}}$

Étape 10.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 10.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))}$

Étape 11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{3} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 12

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}$