Calcul infinitésimal Exemples

$Q = l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} + k^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} + k^{2} = Q$ .

$l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} + k^{2} = Q$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $l$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $k^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} - Q = - k^{2}$

Étape 2.2

Ajoutez $Q$ aux deux côtés de l’équation.

$l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} = - k^{2} + Q$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} = - k^{2} + Q$ par $k^{\frac{3}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} = - k^{2} + Q$ par $k^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}}}{k^{\frac{3}{2}}} = \frac{- k^{2}}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}}}{k^{\frac{3}{2}}} = \frac{- k^{2}}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2.2

Divisez $l^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$l^{\frac{1}{2}} = \frac{- k^{2}}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Placez $k^{\frac{3}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{2} k^{- \frac{3}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $k^{2}$ par $k^{- \frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $k^{- \frac{3}{2}}$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - (k^{- \frac{3}{2}} k^{2}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{- \frac{3}{2} + 2} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.3.1.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{- \frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.3.1.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{- \frac{3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.3.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{\frac{- 3 + 2 \cdot 2}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.3.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{\frac{- 3 + 4}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.3.1.2.6.2

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(l^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez ${(l^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(l^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$l^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

Étape 5.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$l^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

Étape 5.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$l^{1} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez

$l = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez ${(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$ comme $(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$ .

$l = (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$

Étape 5.2.1.2

Développez $(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$l = - k^{\frac{1}{2}} (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$

Étape 5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$l = - k^{\frac{1}{2}} (- k^{\frac{1}{2}}) - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$

Étape 5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$l = - k^{\frac{1}{2}} (- k^{\frac{1}{2}}) - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.2

Multipliez $k^{\frac{1}{2}}$ par $k^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1.2.1

Déplacez $k^{\frac{1}{2}}$ .

$l = - 1 \cdot - 1 (k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}}) - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{1 + 1}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{2}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$l = - 1 \cdot - 1 k^{1} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.3

Simplifiez $- 1 \cdot - 1 k^{1}$ .

$l = - 1 \cdot - 1 k - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$l = 1 k - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.5

Multipliez $k$ par $1$ .

$l = k - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.6

Annulez le facteur commun de $k^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.1.3.1.6.1

Factorisez $k^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- k^{\frac{1}{2}}$ .

$l = k + k^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.6.2

Factorisez $k^{\frac{1}{2}}$ à partir de $k^{\frac{3}{2}}$ .

$l = k + k^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$l = k + k^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$l = k - 1 \frac{Q}{k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1.3.1.7.1

Divisez $2$ par $2$ .

$l = k - 1 \frac{Q}{k^{1}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.7.2

Simplifiez

$l = k - 1 \frac{Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.8

Réécrivez $- 1 \frac{Q}{k}$ comme $- \frac{Q}{k}$ .

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.10

Annulez le facteur commun de $k^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.1.3.1.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$ dans le numérateur.

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{3}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.10.2

Factorisez $k^{\frac{1}{2}}$ à partir de $k^{\frac{3}{2}}$ .

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{1}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.12

Simplifiez

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.14

Associez.

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q \cdot Q}{k^{\frac{3}{2}} k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.15

Multipliez $Q$ par $Q$ .

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{3}{2}} k^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.16

Multipliez $k^{\frac{3}{2}}$ par $k^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1.16.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.16.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{3 + 3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.16.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{6}{2}}}$

Étape 5.2.1.3.1.16.4

Divisez $6$ par $2$ .

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

Étape 5.2.1.3.2

Soustrayez $\frac{Q}{k}$ de $- \frac{Q}{k}$ .

$l = k - 2 \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.4.1

Associez $- 2$ et $\frac{Q}{k}$ .

$l = k + \frac{- 2 Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

Étape 5.2.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$l = k - \frac{2 Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

Étape 6

Simplifiez $k - \frac{2 Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$ .

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Étape 6.1

Déplacez $- \frac{2 Q}{k}$ .

$l = k + \frac{Q^{2}}{k^{3}} - \frac{2 Q}{k}$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $k$ et $\frac{Q^{2}}{k^{3}}$ .

$l = \frac{Q^{2}}{k^{3}} + k - \frac{2 Q}{k}$