Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (\arccos (x))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Ainsi, $\cot (\arccos (x))$ est $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Étape 4.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ comme $(1 + x) (1 - x)$ .

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Étape 4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Étape 4.6.5

Simplifiez

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$