Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (- \frac{5 π}{12}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sin (\frac{19 π}{12}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{19 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{19 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\sin (\frac{\frac{19 π}{6}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{2}}$ .

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Étape 1.2.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.2.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.8

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.4.8.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.4.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 + \sqrt{3}}) + \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{3}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 + \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{2 + \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{- (\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Réécrivez $- (\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3})$ comme $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.09990042 \dots$