Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 6

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 9

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Étape 10.2

Associez $2$ et $\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Étape 10.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Étape 10.4

Associez $\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Étape 10.5

Factorisez $2$ à partir de $6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$

Étape 11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{1}$

Étape 11.4

Divisez $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ par $1$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Étape 12

Réorganisez les facteurs de $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$3 x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$