Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{2 x^{1.5}}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{2 x^{1.5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $x^{0.5}$ à partir de $x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}$ .

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Étape 2.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{0.5}$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5}) + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{0.5}$ à partir de $5 x^{1.5}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)}{x^{1.5}}]$

Étape 2.1.4

Factorisez $x^{0.5}$ à partir de $x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5})$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot (1 - 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)}{x^{1.5}}]$

Étape 2.1.5

Factorisez $x^{0.5}$ à partir de $x^{0.5} \cdot (1 - 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{1.5}}]$

Étape 2.2

Placez $x^{0.5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1.5} x^{- 0.5}}]$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $x^{1.5}$ par $x^{- 0.5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1.5 - 0.5}}]$

Étape 3.1.2

Soustrayez $0.5$ de $1.5$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1}}]$

Étape 3.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - 2 x^{1.5} + 5 x$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{1.5} + 5 x] - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x^{1.5} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{1.5}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1.5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 2 (1.5 x^{0.5}) + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.6

Multipliez $1.5$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5 \cdot 1) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.9

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 5.11

Associez les fractions.

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Étape 5.11.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{2}}$

Étape 5.11.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{2 x^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- 3 x^{0.5}) + x \cdot 5 - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{2 x^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- 3 x^{0.5}) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 3 x \cdot x^{0.5} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{0.5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.2.1

Déplacez $x^{0.5}$ .

$\frac{- 3 (x^{0.5} x) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.1.2.2

Multipliez $x^{0.5}$ par $x$ .

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Étape 6.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 (x^{0.5} x^{1}) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x^{0.5 + 1} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.1.2.3

Additionnez $0.5$ et $1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 \cdot x - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - (5 x)}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.1.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - 5 x}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.2

Associez les termes opposés dans $- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - 5 x$ .

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $5 x$ de $5 x$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5} + 0}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5}$ et $0$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5}}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.3

Additionnez $- 3 x^{1.5}$ et $2 x^{1.5}$ .

$\frac{- 1 x^{1.5} - 1}{2 x^{2}}$

Étape 6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 x^{1.5}$ .

$\frac{- (1 x^{1.5}) - 1}{2 x^{2}}$

Étape 6.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (1 x^{1.5}) - 1 (1)}{2 x^{2}}$

Étape 6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (1 x^{1.5}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (1 x^{1.5} + 1)}{2 x^{2}}$

Étape 6.7

Réécrivez $- (1 x^{1.5} + 1)$ comme $- 1 (1 x^{1.5} + 1)$ .

$\frac{- 1 (1 x^{1.5} + 1)}{2 x^{2}}$

Étape 6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 x^{1.5} + 1}{2 x^{2}}$

Étape 6.9

Multipliez $x^{1.5}$ par $1$ .

$- \frac{x^{1.5} + 1}{2 x^{2}}$