Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x} - 1 - x$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1 \cdot 1) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - (e^{x} - 1 - x) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 4.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x) x}{x^{4}}$

Étape 4.7.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x) x$ .

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Étape 4.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (e^{x} - 1)$ .

$\frac{x (x (e^{x} - 1)) - 2 (e^{x} - 1 - x) x}{x^{4}}$

Étape 4.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (e^{x} - 1 - x) x$ .

$\frac{x (x (e^{x} - 1)) + x (- 2 (e^{x} - 1 - x))}{x^{4}}$

Étape 4.7.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (e^{x} - 1)) + x (- 2 (e^{x} - 1 - x))$ .

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x^{4}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x)}{x^{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} + x \cdot - 1 - 2 (e^{x} - 1 - x)}{x^{3}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} + x \cdot - 1 - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x e^{x} - 1 \cdot x - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} + 2 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Étape 6.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} + 2 + 2 x}{x^{3}}$

Étape 6.3.2

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$\frac{x e^{x} + x - 2 e^{x} + 2}{x^{3}}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 6.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x} x + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$\frac{x e^{x} + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$