Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{3 x + 1}{3 x - 1})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{3 x + 1}{3 x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

$1 \frac{3 x - 1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{3 x - 1}{3 x + 1}$ par $1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x + 1$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1] - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 + 0) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) \cdot 3 - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 \cdot (3 x - 1) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.12

Associez les fractions.

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Étape 5.12.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.12.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5.12.3

Multipliez $\frac{3 x - 1}{3 x + 1}$ par $\frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $3 x - 1$ à partir de $(3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Associez les termes opposés dans $3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1$ .

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Étape 7.3.1.1

Soustrayez $3 (3 x)$ de $3 (3 x)$ .

$\frac{3 \cdot - 1 + 0 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Étape 7.3.1.2

Additionnez $3 \cdot - 1$ et $0$ .

$\frac{3 \cdot - 1 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{- 3 - 3}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Étape 7.3.3

Soustrayez $3$ de $- 3$ .

$\frac{- 6}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$