Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 6) {(x + 2)}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 6$ et $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$(x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x - 6) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$(x - 6) (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Déplacez $3$ à gauche de $x - 6$ .

$3 \cdot (x - 6) {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + 0) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} \cdot 1 + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 3.8

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

Étape 3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

Étape 3.9.2

Multipliez ${(x + 2)}^{3}$ par $1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x + 3 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Étape 4.3

Factorisez ${(x + 2)}^{2}$ à partir de $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez ${(x + 2)}^{2}$ à partir de $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{3}$

Étape 4.3.2

Factorisez ${(x + 2)}^{2}$ à partir de ${(x + 2)}^{3}$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$

Étape 4.3.3

Factorisez ${(x + 2)}^{2}$ à partir de ${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18 + x + 2)$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Additionnez $3 x$ et $x$ .

${(x + 2)}^{2} (4 x - 18 + 2)$

Étape 4.4.2

Additionnez $- 18$ et $2$ .

${(x + 2)}^{2} (4 x - 16)$

Étape 4.5

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x + 2) (x + 2) (4 x - 16)$

Étape 4.6

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

Étape 4.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

Étape 4.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Étape 4.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Étape 4.7.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Étape 4.7.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (4 x - 16)$

Étape 4.7.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$

Étape 4.8

Développez $(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.9.2.1

Déplacez $x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.9.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.3

Déplacez $- 16$ à gauche de $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 16 \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.9.5.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.7

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x + 4 \cdot - 16$

Étape 4.9.9

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$

Étape 4.10

Associez les termes opposés dans $4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$ .

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Étape 4.10.1

Additionnez $- 16 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 0 - 64 x + 16 x - 64$

Étape 4.10.2

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$4 x^{3} - 64 x + 16 x - 64$

Étape 4.11

Additionnez $- 64 x$ et $16 x$ .

$4 x^{3} - 48 x - 64$