Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{4} + 3 x)}^{- 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4} + 3 x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} + 3 x$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$ .

$- (4 x^{3} + 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- (4 x^{3}) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} + 3 x$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + x \cdot 3)}^{2}}$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{3} + x \cdot 3$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x (x^{3} + 3))}^{2}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de produit à $x (x^{3} + 3)$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez $- 4 x^{3} - 3$ par $\frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Étape 3.9

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - 1 (3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Étape 3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{3}) - 1 (3)$ .

$\frac{- (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Étape 3.11

Réécrivez $- (4 x^{3} + 3)$ comme $- 1 (4 x^{3} + 3)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Étape 3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 x^{3} + 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$