Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{4} - 3 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ et $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 3 (2 x)) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de ${(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de ${(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x)$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de $- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) + (x^{2} - 1) (- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 4.2.3

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de $(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) + (x^{2} - 1) (- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de ${(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 4 (x^{4} - 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) + (- 4 x^{4} - 4 (- 3 x^{2})) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.1

Développez $(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 1 (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.1.2.1.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2.1.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{2} x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.1.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 (x \cdot x^{2}) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 10.3.1.2.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 (x^{1} x^{2}) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{1 + 2} - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2.1.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 4 x^{3} - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2.1.6

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 4 x^{3} + 6 x - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.2.2

Soustrayez $4 x^{3}$ de $- 6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.3

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 10.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 (x^{1} x^{4}) - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{1 + 4} - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 10.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} + 12 x^{3}$ .

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Étape 10.3.2.1

Soustrayez $4 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{- 10 x^{3} + 6 x + 0 + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.2.2

Additionnez $- 10 x^{3} + 6 x$ et $0$ .

$\frac{- 10 x^{3} + 6 x + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.3.3

Additionnez $- 10 x^{3}$ et $12 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 10.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.4.2

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.4.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (3)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 10.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{3}}$

Étape 10.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{3}}$

Étape 10.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$