Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(x - 1) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 2$ .

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x + 0}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Additionnez $- 4 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$