Calcul infinitésimal Exemples

${(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{5}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 6

Associez $\frac{5}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} (- (2 x))$

Étape 12

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} (- 2 x)$

Étape 12.2

Associez $- 2$ et $\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 (5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{2} x$

Étape 12.3

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{- 10 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} x$

Étape 12.4

Associez $\frac{- 10 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{- 10 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x}{2}$

Étape 12.5

Factorisez $2$ à partir de $- 10 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x$ .

$\frac{2 (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x)}{2 (1)}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x}{1}$

Étape 13.4

Divisez $- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x$ par $1$ .

$- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x$

Étape 14

Réorganisez les facteurs de $- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x$ .

$- 5 x {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$