Calcul infinitésimal Exemples

${(1 + x)}^{\cot (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ comme $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ en déplaçant $\cot (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\cot (x) \ln (1 + x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \cot (x) \ln (1 + x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cot (x) \ln (1 + x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cot (x) \ln (1 + x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \ln (1 + x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + x$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{1 + x}$ et $\cot (x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 5.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 5.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \cdot 1 + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 5.6

Multipliez $\frac{\cot (x)}{1 + x}$ par $1$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 6

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 7

Pour écrire $\ln (1 + x) (- \csc^{2} (x))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \frac{\ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \frac{\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x}$

Étape 9

Associez $e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$ et $\frac{\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x}$ .

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x))}{1 + x}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) (1 + x))}{1 + x}$

Étape 10.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) \cdot 1 - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Étape 10.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Étape 10.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x)) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Étape 10.1.3

Simplifiez

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Étape 10.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Étape 10.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x}{1 + x}$

Étape 10.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x$ .

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - x e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x)}{1 + x}$

Étape 10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \csc^{2} (x) \ln (1 + x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} x \csc^{2} (x) \ln (1 + x)}{x + 1}$