Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 - 3 x}{3 x}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1 - 3 x}{3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 3 x}{x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 3 x}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - 3 x$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [1 - 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [- 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 3 \cdot 1) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \cdot - 3 - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.6.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \cdot x - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x - (1 - 3 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.8

Associez les fractions.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{x^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{3 x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x - 1 \cdot 1 - (- 3 x)}{3 x^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 3 x - 1 - (- 3 x)}{3 x^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 x - 1 + 3 x}{3 x^{2}}$

Étape 4.2.2

Associez les termes opposés dans $- 3 x - 1 + 3 x$ .

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{0 - 1}{3 x^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{3 x^{2}}$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3 x^{2}}$