Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 - 6 x}{e^{3 x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - 6 x$ et $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{e^{3 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{3 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [- 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 2.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (- 6 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (- 6 \cdot 1) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{e^{3 x} \cdot - 6 - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 2.7.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$\frac{- 6 \cdot e^{3 x} - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Étape 4.4

Multipliez $e^{3 x}$ par $1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 e^{3 x} + (- 3 \cdot 1 - 3 (- 6 x)) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 \cdot 1 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 3$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $3 e^{3 x}$ de $- 6 e^{3 x}$ .

$\frac{- 9 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 5.5

Factorisez $9 e^{3 x}$ à partir de $18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $9 e^{3 x}$ à partir de $18 e^{3 x} x$ .

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 5.5.2

Factorisez $9 e^{3 x}$ à partir de $- 9 e^{3 x}$ .

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)}{e^{6 x}}$

Étape 5.5.3

Factorisez $9 e^{3 x}$ à partir de $9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)$ .

$\frac{9 e^{3 x} (2 x - 1)}{e^{6 x}}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $e^{3 x}$ et $e^{6 x}$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $e^{6 x}$ à partir de $9 e^{3 x} (2 x - 1)$ .

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x}}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 e^{- 3 x} (2 x - 1)}{1}$

Étape 5.6.2.4

Divisez $9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$ par $1$ .

$9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$

Étape 5.7

Appliquez la propriété distributive.

$9 e^{- 3 x} (2 x) + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

Étape 5.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

Étape 5.9

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

Étape 5.10

Multipliez $9$ par $2$ .

$18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

Étape 5.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$ .

$18 x e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x}$