Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 3, 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $3, 1$ .

$3, 1$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 9$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$f' (0) = 9$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $9$ .

$9$

Étape 5.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $9$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, 1)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 9$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 + 9$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $24$ de $12$ .

$f' (2) = - 12 + 9$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 12$ et $9$ .

$f' (2) = - 3$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(1, 3)$ .

Diminue sur $(1, 3)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 9$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$f' (4) = 48 - 48 + 9$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $48$ de $48$ .

$f' (4) = 0 + 9$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$f' (4) = 9$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $9$ .

$9$

Étape 7.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $9$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(3, \infty)$ .

Augmente sur $(3, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 1), (3, \infty)$

Diminue sur : $(1, 3)$

Étape 9