Calcul infinitésimal Exemples

${(1 - \cos (x))}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - \cos (x)$ .

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 (1 - \cos (x)) (- \sin (x))$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 (1 - \cos (x)) \sin (x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))) \sin (x)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

Étape 5.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$