Calcul infinitésimal Exemples

$(2 \sqrt{x} + 4) (\frac{5 - x}{x^{2} + 3 x})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$ et $g (x) = \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x}$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d x} [\frac{5 - x}{x^{2} + 3 x}] + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 - x$ et $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{(x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [5 - x] - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{(x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{(x^{2} + 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{(x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [- x] - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{(x^{2} + 3 x) (- \frac{d}{d x} [x]) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{(x^{2} + 3 x) (- 1 \cdot 1) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{(x^{2} + 3 x) \cdot - 1 - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2} + 3 x$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- 1 \cdot (x^{2} + 3 x) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.6.3

Réécrivez $- 1 (x^{2} + 3 x)$ comme $- (x^{2} + 3 x)$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x])}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3 \cdot 1)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.11

Multipliez $3$ par $1$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 4]$

Étape 4.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{\frac{1}{2}} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 4.13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 4.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 9.3

Associez $2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 9.4

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun.

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 9.6

Réécrivez l’expression.

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Additionnez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{x^{2} + 3 x} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{5 - x}{x^{2} + 3 x}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} + \frac{5 - x}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Pour écrire $(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} \cdot \frac{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5 - x}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Associez $(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}}$ et $\frac{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} ((x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}})}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5 - x}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} ((x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}) + 5 - x}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x^{2} + 3 x) - (5 - x) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - (3 x) - (5 - x) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - (3 x) + (- 1 \cdot 5 - - x) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} (- (3 x)) + x^{\frac{1}{2}} ((- 1 \cdot 5 - - x) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{(x^{2} + 3 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.4

Appliquez la propriété distributive.

Étape 16.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.5.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.5.1.1.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (- x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3 x) + x^{\frac{1}{2}} ((- 1 \cdot 5 - - x) (2 x + 3))$ .

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Étape 16.5.1.1.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 16.5.1.1.1.1.1

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{1}{2}}$ et $- 1$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3 x) + x^{\frac{1}{2}} ((- 1 \cdot 5 - - x) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.1.1.2

Déplacez les parenthèses.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3) x + x^{\frac{1}{2}} ((- 1 \cdot 5 - - x) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.1.1.3

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{2} - 1 \cdot 3 x^{\frac{1}{2}} x + x^{\frac{1}{2}} ((- 1 \cdot 5 - - x) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.1.1.4

Déplacez les parenthèses.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{2} - 1 \cdot 3 x^{\frac{1}{2}} x + x^{\frac{1}{2}} ((- 1 \cdot 5 - - 1 x) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.1.1.5

Remettez dans l’ordre $- 1 \cdot 5$ et $- - 1 x$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{2} - 1 \cdot 3 x^{\frac{1}{2}} x + x^{\frac{1}{2}} (- - 1 x - 1 \cdot 5) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.1.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2}) - 1 \cdot 3 x^{\frac{1}{2}} x + x^{\frac{1}{2}} (- - 1 x - 1 \cdot 5) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.1.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 1 \cdot 3 x^{\frac{1}{2}} x$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3 x) + x^{\frac{1}{2}} (- - 1 x - 1 \cdot 5) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.1.4

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (- - 1 x - 1 \cdot 5) (2 x + 3)$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3 x) + x^{\frac{1}{2}} ((- - 1 x - 1 \cdot 5) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.1.5

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (- x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3 x)$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 1 \cdot 3 x) + x^{\frac{1}{2}} ((- - 1 x - 1 \cdot 5) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.1.6

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 1 \cdot 3 x) + x^{\frac{1}{2}} ((- - 1 x - 1 \cdot 5) (2 x + 3))$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 1 \cdot 3 x + (- - 1 x - 1 \cdot 5) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + (- - 1 x - 1 \cdot 5) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.5.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + (1 x - 1 \cdot 5) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + (x - 1 \cdot 5) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + (x - 5) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.4

Développez $(x - 5) (2 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 16.5.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + x (2 x + 3) - 5 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + x (2 x) + x \cdot 3 - 5 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + x (2 x) + x \cdot 3 - 5 (2 x) - 5 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 16.5.1.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.5.1.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + 2 x \cdot x + x \cdot 3 - 5 (2 x) - 5 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.5.1.1.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 5 (2 x) - 5 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + 2 x^{2} + x \cdot 3 - 5 (2 x) - 5 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.5.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + 2 x^{2} + 3 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.5.1.4

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + 2 x^{2} + 3 x - 10 x - 5 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.5.1.5

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + 2 x^{2} + 3 x - 10 x - 15)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.5.2

Soustrayez $10 x$ de $3 x$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{2} - 3 x + 2 x^{2} - 7 x - 15)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.6

Additionnez $- x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 3 x - 7 x - 15)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.1.7

Soustrayez $7 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 10 x - 15)}{{(x^{2} + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.5.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 3 x$ .

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Étape 16.5.1.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 10 x - 15)}{{(x \cdot x + 3 x)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 10 x - 15)}{{(x \cdot x + x \cdot 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 10 x - 15)}{{(x (x + 3))}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $x (x + 3)$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 10 x - 15)}{x^{2} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.3

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{2} - 10 x - 15}{x^{2} {(x + 3)}^{2} x^{- \frac{1}{2}}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.5.1.4.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{2} - 10 x - 15}{x^{- \frac{1}{2}} x^{2} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{2} - 10 x - 15}{x^{- \frac{1}{2} + 2} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.4.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{2} - 10 x - 15}{x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.4.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{2} - 10 x - 15}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{2} - 10 x - 15}{x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.5.1.4.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{2} - 10 x - 15}{x^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.4.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{x^{2} - 10 x - 15}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.5

Multipliez $2 x^{\frac{1}{2}} + 4$ par $\frac{x^{2} - 10 x - 15}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{2} - 10 x - 15)}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}} + 4$ .

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Étape 16.5.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(2 (x^{\frac{1}{2}}) + 4) (x^{2} - 10 x - 15)}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) (x^{2} - 10 x - 15)}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15)}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} (x^{2} + 3 x) + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.7

Multipliez $\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15)}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}}$ par $x^{2} + 3 x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x^{2} + 3 x)}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.8

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 3 x$ .

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Étape 16.5.1.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x \cdot x + 3 x)}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.8.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x \cdot x + x \cdot 3)}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.8.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x (x + 3))}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) x (x + 3)}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.9

Placez $x^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x + 3)}{x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2} x^{- 1}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.10

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.5.1.10.1

Déplacez $x^{- 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x + 3)}{x^{- 1} x^{\frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x + 3)}{x^{- 1 + \frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.10.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x + 3)}{x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.10.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x + 3)}{x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.10.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x + 3)}{x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.10.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.5.1.10.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x + 3)}{x^{\frac{- 2 + 3}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.10.6.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.11

Factorisez $x + 3$ à partir de $2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) (x + 3)$ .

$\frac{\frac{(x + 3) (2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15))}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{2}} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.5.1.12.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{\frac{(x + 3) (2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15))}{(x + 3) (x^{\frac{1}{2}} (x + 3))} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(x + 3) (2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15))}{(x + 3) (x^{\frac{1}{2}} (x + 3))} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15)}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} + 5 - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15)}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} + 5 \cdot \frac{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) x^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 16.5.3.1

Associez $5$ et $\frac{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15)}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} + \frac{5 ((x + 3) x^{\frac{1}{2}})}{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15)}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} + \frac{5 ((x + 3) x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{2} - 10 x - 15) + 5 ((x + 3) x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) (x^{2} - 10 x - 15) + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{2} - 10 x - 15) + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.3

Développez $(2 x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{2} - 10 x - 15)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 10 x) + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.5.5.4.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.5.5.4.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 10 x) + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 x^{2 + \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 10 x) + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.1.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 10 x) + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.1.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 10 x) + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 10 x) + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.5.5.4.1.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{4 + 1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 10 x) + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.1.6.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 10 x) + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 10 x^{\frac{1}{2}} x + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.3

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.5.5.4.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 10 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.3.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 16.5.5.4.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 10 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 10 x^{1 + \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 10 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 10 x^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.3.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.4

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 15 + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.5

Multipliez $- 15$ par $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.6

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x + 4 \cdot - 15 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.4.7

Multipliez $4$ par $- 15$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 + 5 (x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 + (5 x + 5 \cdot 3) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.6

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 + (5 x + 15) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 + 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.8

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.5.5.8.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 + 5 (x^{\frac{1}{2}} x) + 15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.8.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 16.5.5.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 + 5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 + 5 x^{\frac{1}{2} + 1} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.8.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 + 5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 + 5 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.8.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 20 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 + 5 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.9

Additionnez $- 20 x^{\frac{3}{2}}$ et $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 30 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 + 15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.10

Additionnez $- 30 x^{\frac{1}{2}}$ et $15 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{2} - 40 x - 60 - 15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.5.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.6

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} - x \cdot \frac{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) x^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 16.5.7.1

Associez $- x$ et $\frac{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} + \frac{- x ((x + 3) x^{\frac{1}{2}})}{(x + 3) x^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.7.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} + \frac{- x ((x + 3) x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - x ((x + 3) x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.5.9.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.5.9.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - (x^{\frac{1}{2}} x) (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 16.5.9.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - x^{\frac{1}{2} + 1} (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - x^{\frac{1 + 2}{2}} (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - x^{\frac{3}{2}} (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - x^{\frac{3}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.3

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.5.9.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - (x \cdot x^{\frac{3}{2}}) - x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.3.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 16.5.9.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - (x^{1} x^{\frac{3}{2}}) - x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - x^{1 + \frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - x^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - x^{\frac{2 + 3}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.3.5

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - x^{\frac{5}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + 2 x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.5

Soustrayez $x^{\frac{5}{2}}$ de $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60 - 3 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.6

Soustrayez $3 x^{\frac{3}{2}}$ de $- 15 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5.9.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6

Associez des termes.

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Étape 16.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.6.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2 + \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.1.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.1.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.6.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{\frac{4 + 1}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.1.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{\frac{5}{2}} + 3 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.6.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{\frac{5}{2}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Étape 16.6.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 16.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{\frac{5}{2}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Étape 16.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 16.6.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 16.6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 16.6.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 16.6.3

Réécrivez $\frac{\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}}{x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}}}$ comme un produit.

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 16.6.4

Multipliez $\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3)}$ par $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3) (x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 16.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.7.1

Factorisez $x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 16.7.1.1

Factorisez $x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3) (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 16.7.1.2

Factorisez $x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3) (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \cdot 3)}$

Étape 16.7.1.3

Factorisez $x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \cdot 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3) (x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{2}{2}} + 3))}$

Étape 16.7.2

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3) (x^{\frac{3}{2}} (x^{1} + 3))}$

Étape 16.7.3

Simplifiez

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{1}{2}} (x + 3) x^{\frac{3}{2}} (x + 3)}$

Étape 16.7.4

Associez les exposants.

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Étape 16.7.4.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.7.4.1.1

Déplacez $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} (x + 3) (x + 3)}$

Étape 16.7.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} (x + 3) (x + 3)}$

Étape 16.7.4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{3 + 1}{2}} (x + 3) (x + 3)}$

Étape 16.7.4.1.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{\frac{4}{2}} (x + 3) (x + 3)}$

Étape 16.7.4.1.5

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{2} (x + 3) (x + 3)}$

Étape 16.7.4.2

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{2} ({(x + 3)}^{1} (x + 3))}$

Étape 16.7.4.3

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{2} ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1})}$

Étape 16.7.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{2} {(x + 3)}^{1 + 1}}$

Étape 16.7.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 40 x + x^{\frac{5}{2}} - 15 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{3}{2}} - 60}{x^{2} {(x + 3)}^{2}}$