Calcul infinitésimal Exemples

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = (30 - 2 x) (14 - 2 x)$ et $g (x) = x$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [(30 - 2 x) (14 - 2 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [(30 - 2 x) (14 - 2 x)]$

Étape 2.2

Multipliez $30 - 2 x$ par $1$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x \frac{d}{d x} [(30 - 2 x) (14 - 2 x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 30 - 2 x$ et $g (x) = 14 - 2 x$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) \frac{d}{d x} [14 - 2 x] + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $14 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [14] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) (\frac{d}{d x} [14] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

Étape 4.2

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

Étape 4.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) \cdot - 2 + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

Étape 4.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $30 - 2 x$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 \cdot (30 - 2 x) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

Étape 4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $30 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Étape 4.8

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Étape 4.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 4.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) (- 2 \cdot 1))$

Étape 4.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.12.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) \cdot - 2)$

Étape 4.12.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $14 - 2 x$ .

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) - 2 \cdot (14 - 2 x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 \cdot 30 - 2 (- 2 x) - 2 (14 - 2 x))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 \cdot 30 - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 14 - 2 (- 2 x))$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$(30 - 2 x) \cdot 14 + (30 - 2 x) (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$30 \cdot 14 - 2 x \cdot 14 + (30 - 2 x) (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.6

Appliquez la propriété distributive.

$30 \cdot 14 - 2 x \cdot 14 + 30 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7

Associez des termes.

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Étape 5.7.1

Multipliez $30$ par $14$ .

$420 - 2 x \cdot 14 + 30 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.2

Multipliez $14$ par $- 2$ .

$420 - 28 x + 30 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.3

Multipliez $- 2$ par $30$ .

$420 - 28 x - 60 x - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$420 - 28 x - 60 x + 4 x \cdot x + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$420 - 28 x - 60 x + 4 (x^{1} x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$420 - 28 x - 60 x + 4 (x^{1} x^{1}) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$420 - 28 x - 60 x + 4 x^{1 + 1} + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$420 - 28 x - 60 x + 4 x^{2} + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.9

Soustrayez $60 x$ de $- 28 x$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.10

Multipliez $- 2$ par $30$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} + x \cdot - 60 + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.11

Déplacez $- 60$ à gauche de $x$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 \cdot x + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.12

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + x (4 x) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 (x^{1} x) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 (x^{1} x^{1}) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{1 + 1} + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.17

Multipliez $- 2$ par $14$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} + x \cdot - 28 + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.18

Déplacez $- 28$ à gauche de $x$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 \cdot x + x (- 2 (- 2 x))$

Étape 5.7.19

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 x + x (4 x)$

Étape 5.7.20

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 x + 4 (x^{1} x)$

Étape 5.7.21

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 x + 4 (x^{1} x^{1})$

Étape 5.7.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 x + 4 x^{1 + 1}$

Étape 5.7.23

Additionnez $1$ et $1$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 x + 4 x^{2}$

Étape 5.7.24

Soustrayez $28 x$ de $- 60 x$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} + 4 x^{2} - 88 x + 4 x^{2}$

Étape 5.7.25

Additionnez $4 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$420 - 88 x + 4 x^{2} + 8 x^{2} - 88 x$

Étape 5.7.26

Additionnez $4 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$420 - 88 x + 12 x^{2} - 88 x$

Étape 5.7.27

Soustrayez $88 x$ de $- 88 x$ .

$420 + 12 x^{2} - 176 x$

Étape 5.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$12 x^{2} - 176 x + 420$