Calcul infinitésimal Exemples

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \frac{3}{x} + x$ et $g (x) = \frac{3}{x} - x$ .

$(\frac{3}{x} + x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} - x] + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3}{x} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{3}{x} + x) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(\frac{3}{x} + x) (3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Étape 2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1 \cdot 1) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3}{x} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.11

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.13

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + 1)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + 1)$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{- 3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Étape 3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Étape 3.3.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (\frac{- 3}{x^{2}} + 1)$

Étape 3.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- \frac{3}{x^{2}} + 1)$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$(- \frac{3}{x^{2}} - 1) (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1

Développez $(- \frac{3}{x^{2}} - 1) (\frac{3}{x} + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3}{x^{2}} (\frac{3}{x} + x) - 1 (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1.1

Multipliez $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x}$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Multipliez $\frac{3}{x}$ par $\frac{3}{x^{2}}$ .

$- \frac{3 \cdot 3}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{9}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.1.1.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.2.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{9}{x^{1} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.1.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{9}{x^{1 + 2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.1.1.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x} - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.1.4

Réécrivez $- 1 \frac{3}{x}$ comme $- \frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.1.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - \frac{3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $\frac{3}{x}$ de $- \frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - 2 \frac{3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez $- 2 \frac{3}{x}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 2 \cdot 3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 6}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.4

Développez $(- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} (\frac{3}{x} - x) + 1 (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 (\frac{3}{x} - x)$

Étape 3.5.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.5.1.1

Multipliez $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x}$ .

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Étape 3.5.5.1.1.1

Multipliez $\frac{3}{x}$ par $\frac{3}{x^{2}}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3 \cdot 3}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.1.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.5.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.5.5.1.1.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{1} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{1 + 2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.1.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.5.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x} \cdot - 1 + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.3

Associez $\frac{- 3}{x}$ et $- 1$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3 \cdot - 1}{x} + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.5

Multipliez $\frac{3}{x}$ par $1$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Étape 3.5.5.1.6

Multipliez $- x$ par $1$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x} - x$

Étape 3.5.5.2

Additionnez $\frac{3}{x}$ et $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + 2 \frac{3}{x} - x$

Étape 3.5.6

Multipliez $2 \frac{3}{x}$ .

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Étape 3.5.6.1

Associez $2$ et $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{2 \cdot 3}{x} - x$

Étape 3.5.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{6}{x} - x$

Étape 3.6

Associez les termes opposés dans $- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{6}{x} - x$ .

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Étape 3.6.1

Additionnez $- \frac{6}{x}$ et $\frac{6}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}} + 0 - x$

Étape 3.6.2

Additionnez $- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}}$ et $0$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}} - x$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x - x + \frac{- 9 - 9}{x^{3}}$

Étape 3.8

Soustrayez $9$ de $- 9$ .

$- x - x + \frac{- 18}{x^{3}}$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x - x - \frac{18}{x^{3}}$

Étape 3.10

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$- 2 x - \frac{18}{x^{3}}$