Calcul infinitésimal Exemples

(\frac{1}{x - 2}) (\frac{3}{x^{2} + 2})

$(\frac{1}{x - 2}) (\frac{3}{x^{2} + 2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Multipliez

$\frac{1}{x - 2}$ par

$\frac{3}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

Étape 1.2

Comme

$3$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ par rapport à

$x$ est

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

Étape 1.3

Réécrivez

$\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ comme

${((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

$f' (g (x)) g' (x)$ où

$f (x) = x^{- 1}$ et

$g (x) = (x - 2) (x^{2} + 2)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

$u$ comme

$(x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est

$n u^{n - 1}$ où

$n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$(x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$3 (- {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Étape 3

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$- 3 ({((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où

$f (x) = x - 2$ et

$g (x) = x^{2} + 2$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$x^{2} + 2$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 5.3

Comme

$2$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$2$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Additionnez

$2 x$ et

$0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 5.4.2

Déplacez

$2$ à gauche de

$x - 2$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$x - 2$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 5.7

Comme

$- 2$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- 2$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + 0))$

Étape 5.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.8.1

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) \cdot 1)$

Étape 5.8.2

Multipliez

$x^{2} + 2$ par

$1$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

Étape 6.2

Appliquez la règle de produit à

$(x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} ((2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} + 2)$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Étape 6.5

Associez des termes.

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Étape 6.5.1

Associez

$- 3$ et

$\frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Étape 6.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Étape 6.5.3

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Étape 6.5.4

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Étape 6.5.5

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Étape 6.5.6

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Étape 6.5.7

Multipliez

$2$ par

$- 2$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} - 4 x + x^{2} + 2)$

Étape 6.5.8

Additionnez

$2 x^{2}$ et

$x^{2}$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$

Étape 6.6

Réorganisez les facteurs de

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$ .

$- (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$(- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.8

Simplifiez

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Étape 6.8.1

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$(- 3 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.8.2

Multipliez

$- 4$ par

$- 1$ .

$(- 3 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.8.3

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.9

Multipliez

$- 3 x^{2} + 4 x - 2$ par

$\frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \cdot 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.10

Déplacez

$3$ à gauche de

$- 3 x^{2} + 4 x - 2$ .

$\frac{3 \cdot (- 3 x^{2} + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.11

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2}) + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.12

Factorisez

$- 1$ à partir de

$4 x$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.13

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- (3 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.14

Réécrivez

$- 2$ comme

$- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.15

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.16

Réécrivez

$- (3 x^{2} - 4 x + 2)$ comme

$- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (3 x^{2} - 4 x + 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$