Calcul infinitésimal Exemples

$(\frac{x^{3}}{9}) (3 \ln (x) - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \frac{x^{3}}{9}$ et $g (x) = 3 \ln (x) - 1$ .

$\frac{x^{3}}{9} \frac{d}{d x} [3 \ln (x) - 1] + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \ln (x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + 0) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.1

Additionnez $\frac{3}{x}$ et $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} \cdot \frac{3}{x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{x^{3}}{9}$ par $\frac{3}{x}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3}}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3})}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x$ .

$\frac{3 (x^{3})}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{3}}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Étape 4.4

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{9}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Étape 4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.6.1

Associez $3$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3}{9} x^{2}$

Étape 4.6.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{9}$

Étape 4.6.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{9}$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 4.6.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 (x^{2})}{9}$

Étape 4.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Étape 4.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Étape 4.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$

Étape 5

Pour écrire $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6

Associez $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Étape 8

Associez $3$ et $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Étape 9.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) x^{2}}{3}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 \ln (x) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Simplifiez $3 \ln (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Étape 10.2.1.2

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}}{3}$

Étape 10.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}$ .

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2} + 0}{3}$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $\ln (x^{3}) x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2}}{3}$

Étape 10.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \ln (x^{3})}{3}$

Étape 10.3

Développez $\ln (x^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Étape 10.4.2

Divisez $x^{2} (\ln (x))$ par $1$ .

$x^{2} (\ln (x))$