Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{9}{7 w^{5}} + 9 \sqrt[4]{w}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{9}{7 w^{5}} + 9 \sqrt[4]{w}$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{9}{7}$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $\frac{9}{7 w^{5}}$ par rapport à $w$ est $\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{5}}]$ .

$\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{w^{5}}$ comme ${(w^{5})}^{- 1}$ .

$\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [{(w^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{- 1}$ et $g (w) = w^{5}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $w^{5}$ .

$\frac{9}{7} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{9}{7} (- u^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $w^{5}$ .

$\frac{9}{7} (- {(w^{5})}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{9}{7} (- {(w^{5})}^{- 2} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(w^{5})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{7} (- w^{5 \cdot - 2} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{9}{7} (- w^{- 10} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{9}{7} (- 5 w^{- 10} w^{4}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.7

Multipliez $w^{- 10}$ par $w^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1

Déplacez $w^{4}$ .

$\frac{9}{7} (- 5 (w^{4} w^{- 10})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9}{7} (- 5 w^{4 - 10}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.7.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$\frac{9}{7} (- 5 w^{- 6}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.8

Associez $- 5$ et $\frac{9}{7}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{7} w^{- 6} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.9

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$\frac{- 45}{7} w^{- 6} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.10

Associez $\frac{- 45}{7}$ et $w^{- 6}$ .

$\frac{- 45 w^{- 6}}{7} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.11

Placez $w^{- 6}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{w}$ comme $w^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 w^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2

Comme $9$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $9 w^{\frac{1}{4}}$ par rapport à $w$ est $9 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{4}}]$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} - 1})$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1 - 4}{4}})$

Étape 3.7.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{- 3}{4}})$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{- \frac{3}{4}})$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{4}$ et $w^{- \frac{3}{4}}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 \frac{w^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Étape 3.10

Associez $9$ et $\frac{w^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{9 w^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Étape 3.11

Placez $w^{- \frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{9}{4 w^{\frac{3}{4}}}$