Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + \sec (x)) \sin (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + \sec (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 4

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\cos (x) \sec (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez $\cos (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Étape 5.4.1.3

Annulez les facteurs communs.

$1 + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Étape 5.4.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Étape 5.4.3

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x)$

Étape 5.4.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Étape 5.4.5

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 5.4.5.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Étape 5.4.5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Étape 5.4.5.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Étape 5.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Étape 5.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Étape 5.4.5.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Étape 5.4.5.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x)$

Étape 5.4.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x)$

Étape 5.4.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Étape 5.5

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) + \cos (x)$

Étape 5.6

Réorganisez les termes.

$\tan^{2} (x) + 1 + \cos (x)$

Étape 5.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec^{2} (x) + \cos (x)$