Calcul infinitésimal Exemples

$s (t) = 41 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1

Comme $41$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $41 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}$ par rapport à $t$ est $41 \frac{d}{d t} [{(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}]$ .

$41 \frac{d}{d t} [{(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{6}{5}}$ et $g (t) = 8 t^{3} - 9$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 t^{3} - 9$ .

$41 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{5}}] \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{6}{5}$ .

$41 (\frac{6}{5} u^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 t^{3} - 9$ .

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6 - 5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ de $6$ .

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Associez $\frac{6}{5}$ et ${(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}$ .

$41 (\frac{6 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

Étape 7.2

Associez $\frac{6 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$ et $41$ .

$\frac{6 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} \cdot 41}{5} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9]$

Étape 7.3

Multipliez $41$ par $6$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 t^{3} - 9$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (\frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Étape 9

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8 t^{3}$ par rapport à $t$ est $8 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (8 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (8 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 9])$

Étape 11

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (24 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 9])$

Étape 12

Comme $- 9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (24 t^{2} + 0)$

Étape 13

Associez les fractions.

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Étape 13.1

Additionnez $24 t^{2}$ et $0$ .

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (24 t^{2})$

Étape 13.2

Associez $24$ et $\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{24 (246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}})}{5} t^{2}$

Étape 13.3

Multipliez $246$ par $24$ .

$\frac{5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} t^{2}$

Étape 13.4

Associez $\frac{5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$ et $t^{2}$ .

$\frac{5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} t^{2}}{5}$

Étape 13.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} t^{2}$ .

$\frac{5904 t^{2} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$