Calcul infinitésimal Exemples

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{t - 1}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t - 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = t - 1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(t - 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 8.3

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

Associez $t$ et $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.1.2

Placez $t^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.1.3

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.1.3.1

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 13.2.1.3.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.1.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.1.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.1.4

Réécrivez $- 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ comme $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.2

Pour écrire $- t^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3

Associez $- t^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.5.1.1

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Étape 13.2.5.1.1.1

Déplacez $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.5.1.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.5.1.1.3

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.5.1.1.4

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.5.1.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.5.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 13.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.3.2

Pour écrire $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.3.3

Multipliez $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.5.1

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.3.5.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.3.5.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.3.5.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \frac{t^{\frac{2}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.3.5.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- \frac{t^{1} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.3.5.2

Simplifiez $t^{1}$ .

$\frac{- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 13.5

Multipliez $\frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$ par $\frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t + 1}{{(t - 1)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

Étape 13.6

Déplacez $2$ à gauche de ${(t - 1)}^{2}$ .

$- \frac{t + 1}{2 \cdot {(t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{t + 1}{2 {(t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t - 1)}^{2}}$