Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sin (t^{2}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = \sin (t^{2})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (t^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (t^{2})$ .

$\frac{1}{\sin (t^{2})} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ à $\csc (t^{2})$ .

$\csc (t^{2}) \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = t^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$ .

$2 t \cos (t^{2}) \csc (t^{2})$

Étape 5.2

Réécrivez $\csc (t^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$

Étape 5.3

Multipliez $2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

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Étape 5.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

$t \cos (t^{2}) \frac{2}{\sin (t^{2})}$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{2}{\sin (t^{2})}$ et $t$ .

$\frac{2 t}{\sin (t^{2})} \cos (t^{2})$

Étape 5.3.3

Associez $\frac{2 t}{\sin (t^{2})}$ et $\cos (t^{2})$ .

$\frac{2 t \cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Étape 5.4

Séparez les fractions.

$\frac{2 t}{1} \cdot \frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Étape 5.5

Convertissez de $\frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$ à $\cot (t^{2})$ .

$\frac{2 t}{1} \cot (t^{2})$

Étape 5.6

Divisez $2 t$ par $1$ .

$2 t \cot (t^{2})$