Calcul infinitésimal Exemples

$p (t) = 12 t e^{- \frac{t}{7}}$

Étape 1

Comme $12$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $12 t e^{- \frac{t}{7}}$ par rapport à $t$ est $12 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{7}}]$ .

$12 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{7}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = e^{- \frac{t}{7}}$ .

$12 (t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{7}}] + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - \frac{t}{7}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{t}{7}$ .

$12 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{7}]) + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{7}]) + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{t}{7}$ .

$12 (t (e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{7}]) + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- \frac{1}{7}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{7}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t]$ .

$12 (t (e^{- \frac{t}{7}} (- \frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez $e^{- \frac{t}{7}}$ et $\frac{1}{7}$ .

$12 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{7}}}{7} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.2.2

Associez $t$ et $\frac{e^{- \frac{t}{7}}}{7}$ .

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} + e^{- \frac{t}{7}} \cdot 1)$

Étape 4.6

Multipliez $e^{- \frac{t}{7}}$ par $1$ .

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} + e^{- \frac{t}{7}})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7}) + 12 e^{- \frac{t}{7}}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$- 12 \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} + 12 e^{- \frac{t}{7}}$

Étape 5.2.2

Associez $- 12$ et $\frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7}$ .

$\frac{- 12 (t e^{- \frac{t}{7}})}{7} + 12 e^{- \frac{t}{7}}$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 t e^{- \frac{t}{7}}}{7} + 12 e^{- \frac{t}{7}}$