Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 12 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $6 x - 12$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x - 12$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 12 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 12$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 12$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 12$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $12$ par $6$ .

$x = 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $2$ .

$2$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 6 x - 12$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$ augmente et diminue est $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 6 (1) - 12$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$f' (1) = 6 - 12$

Étape 5.2.2

Soustrayez $12$ de $6$ .

$f' (1) = - 6$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 5.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 6$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 2)$ .

Diminue sur $(- \infty, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 6 (3) - 12$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$f' (3) = 18 - 12$

Étape 6.2.2

Soustrayez $12$ de $18$ .

$f' (3) = 6$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 6.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $6$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(2, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 2)$

Étape 8