Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{t} + 2 \sqrt{t^{3}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[3]{t} + 2 \sqrt{t^{3}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{t}$ comme $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t^{3}}$ comme $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.9

Associez $2$ et $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 3.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.11

Factorisez $2$ à partir de $6 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Étape 3.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

Étape 3.12.4

Divisez $3 t^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$