Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{t}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(t - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{{({(t - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(t - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{{(t - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{{(t - 2)}^{4}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(t - 2)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{{(t - 2)}^{4}}$

Étape 2.3

Multipliez ${(t - 2)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{{(t - 2)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{{(t - 2)}^{4}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t - 2$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t - 2$ .

$\frac{{(t - 2)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t - 2])}{{(t - 2)}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(t - 2)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t - 2])}{{(t - 2)}^{4}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t - 2$ .

$\frac{{(t - 2)}^{2} - t (2 (t - 2) \frac{d}{d t} [t - 2])}{{(t - 2)}^{4}}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(t - 2)}^{2} - 2 t ((t - 2) \frac{d}{d t} [t - 2])}{{(t - 2)}^{4}}$

Étape 4.2

Factorisez $t - 2$ à partir de ${(t - 2)}^{2} - 2 t ((t - 2) \frac{d}{d t} [t - 2])$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $t - 2$ à partir de ${(t - 2)}^{2}$ .

$\frac{(t - 2) (t - 2) - 2 t ((t - 2) \frac{d}{d t} [t - 2])}{{(t - 2)}^{4}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $t - 2$ à partir de $- 2 t ((t - 2) \frac{d}{d t} [t - 2])$ .

$\frac{(t - 2) (t - 2) + (t - 2) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 2]))}{{(t - 2)}^{4}}$

Étape 4.2.3

Factorisez $t - 2$ à partir de $(t - 2) (t - 2) + (t - 2) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 2]))$ .

$\frac{(t - 2) (t - 2 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 2]))}{{(t - 2)}^{4}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $t - 2$ à partir de ${(t - 2)}^{4}$ .

$\frac{(t - 2) (t - 2 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 2]))}{(t - 2) {(t - 2)}^{3}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(t - 2) (t - 2 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 2]))}{(t - 2) {(t - 2)}^{3}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{t - 2 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 2])}{{(t - 2)}^{3}}$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{t - 2 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{3}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{t - 2 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{3}}$

Étape 8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{t - 2 - 2 t (1 + 0)}{{(t - 2)}^{3}}$

Étape 9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{t - 2 - 2 t \cdot 1}{{(t - 2)}^{3}}$

Étape 9.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{t - 2 - 2 t}{{(t - 2)}^{3}}$

Étape 9.3

Soustrayez $2 t$ de $t$ .

$\frac{- t - 2}{{(t - 2)}^{3}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- t$ .

$\frac{- (t) - 2}{{(t - 2)}^{3}}$

Étape 10.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- (t) - 1 (2)}{{(t - 2)}^{3}}$

Étape 10.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t) - 1 (2)$ .

$\frac{- (t + 2)}{{(t - 2)}^{3}}$

Étape 10.4

Réécrivez $- (t + 2)$ comme $- 1 (t + 2)$ .

$\frac{- 1 (t + 2)}{{(t - 2)}^{3}}$

Étape 10.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{t + 2}{{(t - 2)}^{3}}$