Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$ .

$4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = e^{4 t} - e^{t}$ .

$4 (e^{t} \frac{d}{d t} [e^{4 t} - e^{t}] + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{4 t} - e^{t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]$ .

$4 (e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 4 t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 t$ .

$4 (e^{t} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (e^{t} (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 t$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 5.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 t}$ .

$4 (e^{t} (4 \cdot e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 5.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- e^{t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - \frac{d}{d t} [e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + e^{4 t} e^{t} - e^{t} e^{t})$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t})) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4

Associez des termes.

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Étape 8.4.1

Multipliez $e^{t}$ par $e^{4 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.1.1

Déplacez $e^{4 t}$ .

$4 (e^{4 t} e^{t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (e^{4 t + t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.1.3

Additionnez $4 t$ et $t$ .

$4 (e^{5 t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.2

Déplacez $4$ à gauche de $e^{5 t}$ .

$4 (4 \cdot e^{5 t}) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.4

Multipliez $e^{t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.4.1

Déplacez $e^{t}$ .

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} e^{t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t + t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.4.3

Additionnez $t$ et $t$ .

$16 e^{5 t} + 4 (e^{2 t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{2 t}$ .

$16 e^{5 t} + 4 (- 1 \cdot e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.6

Réécrivez $- 1 e^{2 t}$ comme $- e^{2 t}$ .

$16 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.8

Multipliez $e^{4 t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.8.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{4 t + t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.8.2

Additionnez $4 t$ et $t$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

Étape 8.4.9

Multipliez $e^{t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.9.1

Déplacez $e^{t}$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- (e^{t} e^{t}))$

Étape 8.4.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t + t})$

Étape 8.4.9.3

Additionnez $t$ et $t$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t})$

Étape 8.4.10

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} - 4 e^{2 t}$

Étape 8.4.11

Additionnez $16 e^{5 t}$ et $4 e^{5 t}$ .

$20 e^{5 t} - 4 e^{2 t} - 4 e^{2 t}$

Étape 8.4.12

Soustrayez $4 e^{2 t}$ de $- 4 e^{2 t}$ .

$20 e^{5 t} - 8 e^{2 t}$